Ejercicio+2

A partir del siguiente triángulo:

fila 1: 1 = 1 fila 2: 3 + 5 = 8 fila 3: 7 + 9 + 11 = 27 fila 4: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 fila 5: 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125

Encontrar la suma de los valores para el i-ésimo renglón y demostrarlo matemáticamente.

A primera vista parece ser una secuencia de cubos. Para i=2, S(2) = 2³ = 8, para la tercera fila, S(3) = 3³ = 27. Lo que nos hace suponer que para toda i, **S(i) = i³**.

Podemos enfocarnos en la diferencia entre renglones, es decir, S(i+1) - S(i). Tomando nuestro supuesto de que S(i) = i³ tenemos:

= 3i² + 3i + 1**
 * (i+1)³ -i³ = i³ + 3i² +3i + 1 -i³

Ahora, nos enfocamos a nuestro triángulo. Se pueden observar las siguientes relaciones:
 * en cada fila i, existen i numeros impares
 * la diferencia entre cada primer elemento de dos filas continuas es igual a 2i. Es decir, la diferencia entre el 7 (3a fila) y el 3 (2a fila) es 2 veces el no. de fila del sustraendo (3), 7 - 3 = 2(2) = 4.
 * La misma relacion existe entre el 2o. elemento de la fila 2 y el 2o. elemento de la fila 3. 9 - 5 = 2(2) = 4.

Nos queda entonces que la diferencia entre filas continuas es igual a **2i *i** más el último elemento de la fila **i+1**.

El valor de este último elemento es fácil de encontrar, también está en función de i, y es: **(i+1)² + i** Entonces, tenemos lo siguiente:

= 2i² + i² + 2i + 1 + i = 3i² + 3i + 1**
 * S(i+1) - S(i) = 2i² + (i+1)² + i

Lo que coincide con nuestra relación propuesta inicialmente.